Qu'est-ce que petit théorème de fermat ?

Le petit théorème de Fermat, également connu sous le nom de théorème de Fermat-Euler, est une proposition mathématique formulée par le mathématicien Pierre de Fermat au XVIIe siècle. Ce théorème est souvent considéré comme l'un des résultats les plus célèbres et importants de la théorie des nombres.

La formulation du théorème est la suivante : si p est un nombre premier et a est un entier non divisible par p, alors a^(p-1) - 1 est divisible par p, c'est-à-dire que a^(p-1) ≡ 1 (mod p). Cette notation « ≡ » signifie congruence, c'est-à-dire que les deux nombres laissés par la division par p ont le même reste.

Le théorème de Fermat est souvent utilisé en cryptographie, en particulier dans l'algorithme de cryptographie à clé publique appelé RSA. Dans le processus RSA, la sécurité du système repose en partie sur le fait qu'il est extrêmement difficile de factoriser de grands nombres premiers, et le petit théorème de Fermat peut être utilisé pour démontrer l'exactitude de l'algorithme RSA.

La preuve du théorème de Fermat est souvent présentée par induction. Elle utilise également la propriété de base des restes modulo et d'autres propriétés arithmétiques. Cependant, la preuve complète du théorème a été donnée plus tard par le mathématicien suisse Leonhard Euler.

En conclusion, le petit théorème de Fermat est un théorème fondamental de la théorie des nombres qui établit une relation entre les puissances et les nombres premiers. Il est largement utilisé en cryptographie et possède de nombreuses applications dans d'autres domaines des mathématiques ainsi que dans l'informatique.

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